2023届全国100所名校单元测试示范卷数学高一第三单元

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10．等比数列{a_n}中，a₁=3，a₄=24，设数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和为S_n，则S₈等于（　　）

试题答案

分析 利用等比数列的通项公式可得公比q，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比为q，∵a₁=3，a₄=24，
∴24=3×q³，
解得q=2．
∴a_n=3×2^n-1，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和为S_n=$\frac{1}{3}（1+\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}）$
=$\frac{1}{3}×\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{2}{3}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）$，
则S₈=$\frac{2}{3}（1-\frac{1}{{2}^{8}}）$=$\frac{85}{128}$．
故选：A．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

19.示例:唐诗宋词享有“古汉语之花”的美誉。它音韵和谐,音节齐整,是世界上最精致的诗品。 (或:唐诗宋词音韵和谐,音节齐整,是世界上最精致的诗品,享有“古汉语之花”的美誉。) (4分。每句1分)