2023全国100所名校单元测试示范卷免费理数学六

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15．设双曲线中心是坐标原点，实轴在y轴上，离心率为$\frac{\sqrt{5}}{2}$，已知点P（0，5）到双曲线的最近距离是2，求双曲线的方程．试题答案

分析 根据双曲线的定义，由点P（0，5）到此双曲线上的点的最近距离为2，可转化为二次函数的最大（小）值问题来讨论，得到a、b应满足的另一关系式．从而求出a²、b²，本题得解．

解答 解：依题意，设双曲线的方程为$\frac{y^2}{a^2}$-$\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）．
∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，c²=a²+b²，∴a²=4b²．
设M（x，y）为双曲线上任一点，则
|PM|²=x²+（y-5）²
=b²（$\frac{y^2}{a^2}$-1）+（y-5）²
=$\frac{5}{4}$（y-4）²+5-b²（|y|≥2b）．
①若4≥2b，则当y=4时，
|PM|_min²=5-b²=4，得b²=1，a²=4．
从而所求双曲线方程为$\frac{y^2}{4}$-x²=1．
②若4＜2b，则当y=2b时，
|PM|_min²=4b²-20b+25=4，
得b=$\frac{7}{2}$（舍去b=$\frac{3}{2}$），b²=$\frac{49}{4}$，a²=49．
从而所求双曲线方程为$\frac{y^2}{49}$-$\frac{{4{x^2}}}{49}$=1．

点评 本题主要考查双曲线的标准方程，结合双曲线的基本性质--离心率、基本关系，考查两点间的距离公式．考查学生的运算能力．