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9.如果函数f(x)=3sin(2x-φ)(0<φ<π)的图象满足f(x+$\frac{π}{6}$)=f($\frac{π}{6}$-x),则f(x)$≥\frac{3}{2}$的解集为{x|kπ+$\frac{π}{2}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$,k∈Z}.试题答案
分析 根据正弦函数的对称轴求出φ的值,继而得到函数的解析式,在根据三角函数的图象和性质,得到sin(2x-$\frac{5π}{6}$)≥$\frac{1}{2}$,解得即可.
解答 解:函数f(x)=3sin(2x-φ)(0<φ<π)的图象满足f(x+$\frac{π}{6}$)=f($\frac{π}{6}$-x),
∴f(x)的对称轴为x=$\frac{π}{6}$,
∴2x-φ=kπ+$\frac{π}{2}$,k∈Z,
∴φ=kπ-$\frac{π}{6}$,k∈Z,
∵0<φ<π,
∴φ=$\frac{5π}{6}$,
∴f(x)=3sin(2x-$\frac{5π}{6}$),
∵f(x)$≥\frac{3}{2}$,
∴3sin(2x-$\frac{5π}{6}$)≥$\frac{3}{2}$,
∴sin(2x-$\frac{5π}{6}$)≥$\frac{1}{2}$,
∴2kπ+$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{5π}{6}$≤2kπ+$\frac{5π}{6}$,k∈Z,
∴kπ+$\frac{π}{2}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$,k∈Z,
∴f(x)$≥\frac{3}{2}$的解集为{x|kπ+$\frac{π}{2}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$,k∈Z},
故答案为:{x|kπ+$\frac{π}{2}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$,k∈Z}.
点评 本题考查了正弦函数的图象和性质,以及不等式的解法,属于中档题.
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