2023届全国100所名校单元测试示范卷高三数学十三

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19．已知F₁，F₂为双曲线C：x²-$\frac{y^2}{3}$=1的左、右焦点，点P在C上，|PF₁|=2|PF₂|，则cos∠F₁PF₂=（　　）

试题答案

分析 根据双曲线的定义，结合|PF₁|=2|PF₂|，利用余弦定理，即可求cos∠F₁PF₂的值．

解答 解：双曲线方程x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，则a=1，b=$\sqrt{3}$，c=2，
设|PF₁|=2|PF₂|=2m，
根据双曲线的定义，|PF₁|-|PF₂|=2a可得m=1，
∴|PF₁|=4，|PF₂|=2，
∵|F₁F₂|=2c=4，
∴cos∠F₁PF₂=$\frac{{|{PF}_{1}|}^{2}{+|{PF}_{2}|}^{2}{-{{|F}_{1}F}_{2}|}^{2}}{2×|{PF}_{1}|×|{PF}_{2}|}$=$\frac{{4}^{2}{+2}^{2}{-4}^{2}}{2×4×2}$=$\frac{1}{4}$．
故选：A．

点评 本题考查了双曲线的定义与简单几何性质的应用问题，也考查了余弦定理的运用问题，是中档题目．

4.①材料一采用总一分一总式结构来论证,(1分)②先总说,提出观点,指出李白和杜甫在我国诗歌史上具有同等重要的地位,但他们的诗歌有很多不同之处;(1分)然后分说,从诗歌题材、创作方法和风格特色等角度展开论述,论证观点;(1分)最后总结,阐述李白与杜甫的诗歌有很多不同之处,但不影响人们对两位诗人和其诗歌的热爱。(1分)(意思答对即可)