2023届全国100所名校单元测试示范卷数学 必修三

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18．已知二次函数f（x）=x²+x的定义域为D恰是不等式$\frac{2}{x+1}≥1$的解集，其值域为A，函数g（x）=x³-3tx+$\frac{1}{2}t$的定义域为[0，1]，值域为B．
（1）求函数f（x）定义域为D和值域A；
（2）是否存在负实数t，使得A⊆B成立？若存在，求负实数t的取值范围；若不存在，请说明理由；
（3）若函数g（x）=x³-3tx+$\frac{1}{2}t$在定义域[0，1]上单调递减，求实数t的取值范围．试题答案

分析 （1）解不等式$\frac{2}{x+1}≥1$求出D，结合二次函数的图象和性质，求出A；
（2）利用导数法，求出B，结合A⊆B，可得负实数t的取值范围；
（3）若函数g（x）=x³-3tx+$\frac{1}{2}t$在定义域[0，1]上单调递减，则g′（x）=3x²-3t≤0在[0，1]上恒成立，解得答案．

解答 解：（1）解不等式$\frac{2}{x+1}≥1$得：x∈（-1，0]，
故二次函数f（x）=x²+x的定义域D=（-1，0]，
∵二次函数f（x）=x²+x的图象是开口朝上，且以直线x=-$\frac{1}{2}$为对称轴的抛物线，
故二次函数f（x）=x²+x在x=-$\frac{1}{2}$时，取最小值$-\frac{1}{4}$，当x=0时，取最大值0，
故二次函数f（x）=x²+x的值域A=[$-\frac{1}{4}$，0]；
（2）∵函数g（x）=x³-3tx+$\frac{1}{2}t$，
∴g′（x）=3x²-3t，
当t＜0时，g′（x）≥0恒成立，
g（x）=x³-3tx+$\frac{1}{2}t$，x∈[0，1]为增函数，
此时B=[$\frac{1}{2}t$，$-\frac{5}{2}t+1$]，
若A⊆B，
则$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}t≤-\frac{1}{4}\\-\frac{5}{2}t+1≥0\end{array}\right.$，
解得：t≤$-\frac{1}{2}$；
（3）若函数g（x）=x³-3tx+$\frac{1}{2}t$在定义域[0，1]上单调递减，
则g′（x）=3x²-3t≤0在[0，1]上恒成立，
即t≥x²，x∈[0，1]恒成立，
解得：t≥1

点评 本题考查的知识点是集合的包含关系，函数的定义域，值域，导数法求函数的最值，难度较大，属于难题．

9.(6分)①文章题目有两重含义,分别是在雨中、晴中西溪的景与事。(解说题目含义,2分) ②作者按时间推移和空间转换的顺序,紧紧扣住题目内涵。首先写在雨中与朋友源宁一起游览西溪,突出雨中西溪空明、朦胧的景象特点;然后写于日暖风和的晴天与老龙夫妇游览西溪,突出西溪晴明浩荡的景象特点。文章前后材料,分别照应题目中的“雨”和“晴”,这就使文章结构更为严密。(分别阐述“雨”与“晴”中游历及景之特点各2分) 高一语文试题答案第1页(共3页)