2023届全国100所名校单元测试示范卷数学第九单元

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18．已知函数f（x）=x³-3x．
（1）讨论f（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）=f（x）-m在$[{-\frac{3}{2}，3}]$上有三个零点，求实数m的取值范围．试题答案

分析 （1）求出f（x）的定义域，求出f′（x），利用极值点，推出导函数的符号，即可得到f（x）的单调递增区间，单调递减区间．
（2）要使函数g（x）=f（x）-m在[$-\frac{3}{2}$，3]上有三个零点，转化为函数y=f（x）和函数y=m的图象在[$-\frac{3}{2}$，3]上有三个不同的交点．通过函数的极值，求解即可．

解答 解：（1）f（x）的定义域为R，f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）．
因为当x＜-1或x＞1时，f′（x）＞0；当-1＜x＜1时，f′（x）＜0；
所以f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）和（1，+∞），单调递减区间为（-1，1）．
（2）要使函数g（x）=f（x）-m在[$-\frac{3}{2}$，3]上有三个零点，就是要方程f（x）-m=0在[$-\frac{3}{2}$，3]上有三个实根，也就是只要函数y=f（x）和函数y=m的图象在[$-\frac{3}{2}$，3]上有三个不同的交点．
由（1）知，f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上单调递增，在（-1，1）上单调递减；
所以f（x）在x=-1处取得极大值f（-1）=2，在x=1处取得极小值f（1）=-2．
又f（$-\frac{3}{2}$）=$\frac{9}{8}$，f（3）=18．
故实数m的取值范围为：$[\frac{9}{8}，2）$．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及函数零点的求法，考查分析问题解决问题的能力．

1.C(A项,扩大范围,不是“文学史”,而是“诗歌史”。B项,分析不当,”他写虚时离开现实,直接写幻境来寄闻理想,如'白发三千丈,缘 似个长””错误,原文是“在反映客观现实的时候,李白常常带着强烈的主观色彩以感情的逻辑去取代生活的逻辑,如写愁的“白发三千丈,缘感似个长”……李白的有些诗甚至离开现实,接写幻境来寄寓理想。他有近八分之一的诗,写求仙学道,诗中所写的幻境,既非生活所实有,也无托喻现实的意义,而是他渴望成仙的理想的外化,他把自己的理想幻化为一个个并不存在的幻境”。D项.不合文意,他没有看到长安的繁荣景象,他看到的是大唐意败到来前的危机四伏”错误,原文是“他看到过开元盛世的繁荣景象,但他更多地认识到大唐衰败到来前的危机四伏”