2023届全国100所名校单元测试示范卷数学第六单元

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12．已知$\overrightarrow{AB}=（{2，1}）$，$\overrightarrow{CD}=（{5，5}）$，则$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{CD}$方向上的投影为（　　）

试题答案

分析 求出向量的夹角θ，则$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{CD}$方向上的投影为|$\overrightarrow{AB}$|•cosθ．

解答 解：$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}$=2×5+1×5=15，|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{CD}$|=5$\sqrt{2}$，
设$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{CD}$夹角为θ，则cosθ=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{CD|}}$=$\frac{15}{5\sqrt{10}}$，
∴$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{CD}$方向上的投影为|$\overrightarrow{AB}$|•cosθ=$\sqrt{5}×\frac{15}{5\sqrt{10}}$=$\frac{3}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故选B．

点评 本题考查了平面向量的有关运算，属于基础题．

【参考译文】后周世宗柴荣显德二年春三月，比部郎中王朴进献策文，认为：“如今士兵精干，武器齐全，部下畏服军法，众将愿意效力，一年以后可以出兵打仗，应该从夏季、秋季就开始积蓄粮草来充实边疆了。”后周世宗欣然接受。当时群臣大多墨守成规，苟且偷安，所对策略很少有可取的。世宗因此看重王朴的器量与胆识，不久，迁升他为左谏议大夫。三年春正月，南唐一万多人将船只停靠在淮河上。世宗命令宋太祖皇帝赵匡胤出击。宋太祖皇帝派遣一百多骑兵进逼南唐军营而又假装逃跑，埋伏的部队乘机拦击追兵，在涡口大败南唐军队。二月，南唐主请求废除帝号，割让寿州、濠州、泗州、楚州、光州、海州等六州之地。皇上赐给唐主书信，信中大致说：“只管保存帝号，为什么要失去松柏不怕天寒地冻依旧郁郁葱葱的品格！倘若能坚定自己侍奉大周的信念，终究不会被人逼入险境绝地。等到江北各州全部献来，我的大军就立即休战。”四年春季，后周军队围攻寿春，连年没有攻下，城中粮食吃光。刘仁赡请求让边镐守城，自己率领部众决一死战；齐王李景达不准许，刘仁赡愤怒郁闷而患病。甲辰，后周世宗在寿春城北显示兵力。刘仁赡病得很重，不省人事。丙午，监军使、营田副使等以刘仁赡的名义起草表书，派遣使者拿着前来投降。戊申，世宗指挥军队大规模整齐地排列，在寿春城北面接受投降。辛亥，任命刘仁赡为天平节度使兼中书令。当日，刘仁赡去世，追赐爵位为彭城郡王。南唐主闻悉，也追赠刘仁赡为太师。十二月，乙卯，南唐泗州守将率城投降。世宗亲自到达泗州城下，下令军中割草打柴的人不得侵犯农民田地，农民都感激喜悦，争相献送粮草；攻克泗州以后，没有一名士兵敢擅自入城。五年，南唐主自称唐国主，改用后周年号历法。南唐主派人禀报世宗，因为江南地区没有盐卤之田，希望得到海陵监归属江南来供应军需。世宗说：“海陵在长江北岸，难以归属江南而使南、北官吏交错杂居，应当另有安排。”到这时，诏令每年拨出三十万斛盐给江南地区。六年，六月，南唐主派遣钟谟入朝进贡，世宗说：“江南也在操练军队，进行战备吗？”回答说：“既已经以臣道侍奉大国，不敢再这样了。”世宗说：“不对。昔日是仇敌，今日已成一家。然而人生难以预料，至于后世，则事情更不可知晓。回去对你家君主说，可以趁着我在的时候加固城郭，修缮武器，据守要塞，为子孙后代着想。”