2023年全国100所名校单元测试示范卷高二数学卷三

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1．已知向量$\overrightarrow a=（sinx，cosx），\overrightarrow b=（2{cos^2}\frac{φ}{2}-1，sinφ）$，且函数$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b（0＜φ＜π）$在x=π时取得最小值．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若$a=3，\;f（A）=\frac{{\sqrt{6}}}{3}，B=A+\frac{π}{2}$，求b的值．试题答案

分析 （Ⅰ）利用向量的数量积公式，结合辅助角公式，求φ的值；
（Ⅱ）先求出sinA，sinB，再利用正弦定理，即可求b的值．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b=sinx（2{cos^2}\frac{φ}{2}-1）+cosxsinφ$=sinxcosφ+cosxsinφ=sin（x+φ）．…3
由于sin（π+φ）=-1，且0＜φ＜π，∴$φ=\frac{π}{2}$．…6
（Ⅱ）由上知f（x）=cosx，于是$f（A）=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，∴$cosA=\frac{{\sqrt{6}}}{3}，sinA=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．…8
∵$B=A+\frac{π}{2}$，∴$sinB=sin（A+\frac{π}{2}）=cosA=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．…10
由正弦定理得：$b=\frac{asinB}{sinA}=\frac{{3×\frac{{\sqrt{6}}}{3}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{3}}}=3\sqrt{2}$…12

点评 本题考查向量的数量积公式，辅助角公式，正弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．