卷临天下2023届全国100所名校单元测试范卷高三数学

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3．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点A到右焦点F₂的距离为$\sqrt{3}$，椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，过F₂的直线l与椭圆C交于M，N两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）探究：当△MF₁N的内切圆的面积最大时，直线l的倾斜角是多少．试题答案

分析 （1）由于上顶点A到右焦点F₂的距离为$\sqrt{3}$，椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，可得$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{3}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出；
（2）设直线l的方程为my+$\sqrt{2}$=x，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．与椭圆方程联立化为（m²+3）y²+2$\sqrt{2}$my-1=0，利用根与系数的关系可得：|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$．可得${S}_{△M{F}_{1}N}$=$\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}||{y}_{1}-{y}_{2}|$，另一个方面：${S}_{△M{F}_{1}N}$=$\frac{1}{2}r（|M{F}_{1}|+|N{F}_{1}|+|MN|）$=2ar=2$\sqrt{3}$r（r为△MF₁N的内切圆的半径），即可用m表示r，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）∵上顶点A到右焦点F₂的距离为$\sqrt{3}$，椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{3}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{3}$，b=1，c=$\sqrt{2}$，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1．
（2）设直线l的方程为my+$\sqrt{2}$=x，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{my+\sqrt{2}=x}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=3}\end{array}\right.$，化为（m²+3）y²+2$\sqrt{2}$my-1=0，
∴y₁+y₂=$\frac{-2\sqrt{2}m}{{m}^{2}+3}$，y₁y₂=$\frac{-1}{{m}^{2}+3}$．
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{3{m}^{2}+3}}{{m}^{2}+3}$．
∴${S}_{△M{F}_{1}N}$=$\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}||{y}_{1}-{y}_{2}|$=$\frac{1}{2}×2c×$$\frac{2\sqrt{3{m}^{2}+3}}{{m}^{2}+3}$=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{3{m}^{2}+3}}{{m}^{2}+3}$，
另一个方面：${S}_{△M{F}_{1}N}$=$\frac{1}{2}r（|M{F}_{1}|+|N{F}_{1}|+|MN|）$=2ar=2$\sqrt{3}$r（r为△MF₁N的内切圆的半径）．
∴2$\sqrt{3}$r=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{3{m}^{2}+3}}{{m}^{2}+3}$，
∴r=$\frac{\sqrt{2}\sqrt{{m}^{2}+1}}{{m}^{2}+3}$，∴r²=$\frac{2（{m}^{2}+1）}{（{m}^{2}+3）^{2}}$=$\frac{2}{{m}^{2}+1+\frac{4}{{m}^{2}+1}+4}$≤$\frac{2}{2\sqrt{4}+4}$=$\frac{1}{4}$，当且仅当m²=1，即m=±1时取等号．
∴直线l的方程为：y=$±（x-\sqrt{2}）$．
∴直线l的倾斜角为：45°或135°．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、三角形面积的不同表示方法、三角形内切圆的面积、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

尊敬的各位领导、老师,亲爱的同学们: 大家好! 今天我演讲的题目是“人生如棋匿乾坤,君子博弈大智慧”。 黑白交错, 围棋谋势不谋子;楚河汉界,象棋不慕单边英雄,扮好角色才能胜;六边阵型,跳棋取胜需借力。人生如棋,落子无悔,善变需知规,谋棋有智慧。我辈青年应从中汲取经验,执子控全局,谋势展风采,棋盘蕴含大智慧。 围棋的智慧在于谋势不谋人,平等看待对手。黑白世界,你中有我,我中有你。何处是生门?如果才能破局?可谓是棋无定法,伺机而动,谋势不谋人。同样,在人生的棋盘上,处处藏匿着与我们势均力敌的对手, 唯有谋势,才能于博弈中取胜。君不见中国积极帮助世界各国,助力全球抗疫,谋求合作共赢之势;君不见中国致力丝绸之路,交流互鉴,谋得区域发展之势。我辈青年也应懂得谋势,在自己人生舞台上有整体观,有大局观,有远大的格局,合作与竞争各有其道。 象棋的智慧在于小卒亦能“将军”,胜利需要团结协作,遵守规则,扮好每一个角色。马走日象走田,车能直行炮翻山。楚河汉界,项亡刘兴。不管愿不愿意,你我皆已是局中人,执子无悔,扮好各自的角色才能谋得人生大棋。辛丑年间,疫情肆虐,武汉封城,湖北防控,全国助力。白衣天使逆行北上,志愿团体任劳任怨,平民百姓各守其家。扮好每一平凡角色,各安其职,才能守得 { }开见月明。但是,也有人不顾规则, 假绿码,瞒行程,不仅害己更害人。国际上单边主义盛行,强买强卖,一家独大,最后只会弄得满盘皆输。我辈青年要有角色意识,团结协作,共同发力,共绘社会蓝图。 跳棋的智慧在于懂得借力,搭桥铺路,抵终点。家庭聚会上的跳棋有其独到智慧,懂借力才有利。我见清政府“师夷长技以自强”,才使得民族工业得以发展。我见有些国家妄图谋求“群体免疫”,不善借力,最后弄得个人心惶惶,国库空虚。我还见传统文化借力科技,以崭新的姿态呈现,“五柳先生”的桃园痴梦以全新的形式被人们熟识。我辈青年也要善于借力,博采众长,“穿花寻路,浩气展虹霓”。 方寸之间,智慧无间。小小棋盘,君子舞台。围棋中庸,象棋征伐,跳棋借力。我辈青年于棋中领略奥秘,须知规,懂借力,明造势,演角色,共合作。大国泱泱,大潮滂滂。棋如此,人如此,国亦如此。百年之未有的大变局中,我辈皆已是局中人,执子无悔,朝乾夕惕助力全局,这样,社会主义的宏伟蓝图便也有了轮廓。 下棋,乐其间也。做人,乐无穷也。