卷临天下2023全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学(三)答案

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16．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左顶点为A、上顶点为B，光线通过点C（-1，0）射到线段AB（端点除外）上的点T，经线段AB反射，其反射光线与椭圆交于点M．若∠CTM为钝角，则T点的横坐标m的范围为（-3，$\frac{-3-\sqrt{3}}{2}$）∪（$\frac{\sqrt{3}-3}{2}$，0）．试题答案

分析 只要求出∠CTM为直角时T的横坐标．由图可得，这样的T点有两个．求出A，B，|AB|的长，可得∠BAC=30°，运用解直角三角形的知识，结合反射定律，可得T的横坐标，再由图形观察，即可得到范围．

解答 解：只要求出∠CTM为直角时T的横坐标．
由图可得，这样的T点有两个．
先求线段AB上面的一个，设为T₁，
A（-3，0），B（0，$\sqrt{3}$），|AB|=$\sqrt{9+3}$=2$\sqrt{3}$，
即有∠BAC=30°，
又|AC|=2，可得C到AB的距离CN为1，
由∠CT₁M为直角，由反射定律可得，∠AT₁C=45°，
AN=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，T₁N=1，即有AT₁=1+$\sqrt{3}$，
T₁的横坐标即为$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1+$\sqrt{3}$）-3=$\frac{\sqrt{3}-3}{2}$，
同理可得AT₂=$\sqrt{3}$-1，
T₂的横坐标为$\frac{-3-\sqrt{3}}{2}$，
由图象观察可得，若∠CTM为钝角，
则T点的横坐标m的范围是（-3，为$\frac{-3-\sqrt{3}}{2}$）∪（$\frac{\sqrt{3}-3}{2}$，0）．
故答案为：（-3，$\frac{-3-\sqrt{3}}{2}$）∪（$\frac{\sqrt{3}-3}{2}$，0）．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查光线反射定律的运用，同时考查转化思想的运用，以及数形结合的思想方法，属于中档题．