卷临天下2023全国100所名校单元测试示范卷高三数学卷第三单元

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4．在四面体PABC中，PA、PB、PC两两垂直，且均相等，E是AB的中点，则异面直线AC与PE所成的角为$\frac{π}{3}$．试题答案

分析 由已知条件构造正方体，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC与PE所成的角的大小．

解答 解：∵四面体PABC中，PA、PB、PC两两垂直，且均相等，
∴构造如图所示的正方体，
以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，
设PA=2，则A（0，0，2），C（0，2，0），B（2，2，2），E（1，1，2），P（0，2，2），
$\overrightarrow{AC}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{PE}$=（1，-1，0），
设异面直线AC与PE所成的角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{PE}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{PE}}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{PE}|}$|=|$\frac{-2}{2\sqrt{2}×\sqrt{2}}$|=$\frac{1}{2}$，
∴$θ=\frac{π}{3}$．
∴异面直线AC与PE所成的角为$\frac{π}{3}$．
故答案为：$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．