卷临天下2023全国100所名校单元测试单元测试示范卷.高三.数学卷(四)

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2．已知半圆C：x²+y²=1（y≥0），A，B分别为半圆C与x轴的左右交点，直线m过点B且与x轴垂直，T是圆弧$\widehat{AB}$上的一个三等分点，连接AF并延长至直线m于S，则四边形OBST的面积为$\frac{7\sqrt{3}}{4}$或$\frac{5\sqrt{3}}{12}$．试题答案

分析 由题意，∠SAB=60°或∠SAB=30°．再分类讨论，即可求出四边形OBST的面积．

解答 解：由题意，∠SAB=60°或∠SAB=30°．
∠SAB=60°，直线AT的方程为y=$\sqrt{3}$（x+1），x=1，y=2$\sqrt{3}$，
∴四边形OBST的面积为$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}×{1}^{2}$=$\frac{7\sqrt{3}}{4}$；
∠SAB=30°，直线AT的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1），x=1，y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴四边形OBST的面积为$\frac{1}{2}×2×\frac{2\sqrt{3}}{3}-\frac{1}{2}×1×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{12}$．
故答案为：$\frac{7\sqrt{3}}{4}$或$\frac{5\sqrt{3}}{12}$．

点评 本题考查四边形OBST的面积，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．