卷临天下2023全国100所名校单元测试示范卷》·高三数学文科·全国

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14．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±$\sqrt{3}$x，左、右焦点分别为F₁（（-c，0），F₂（c，0）．且双曲线被直线x=-c所截得的弦长为6．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过F₂且倾斜角为135°的直线l交C于A，B两点，求△F₁AB的面积．试题答案

分析 （1）由双曲线被直线x=-c所截得的弦长为6，得$\frac{{b}^{2}}{a}$=3，双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±$\sqrt{3}$x，得$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$，求出a，b，即可求双曲线C的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l方程：y=-（x-2）．由双曲线方程与直线l方程消去y，得关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系，即可求出△F₁AB的面积．

解答 解：（1）x=-c时，y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∵双曲线被直线x=-c所截得的弦长为6，
∴$\frac{{b}^{2}}{a}$=3，
∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±$\sqrt{3}$x，
∴$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$，
∴a=1，b=$\sqrt{3}$，
∴双曲线C的方程为${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由右焦点F₂（2，0），可得直线l方程：y=-（x-2）
代入双曲线方程，消去y，得2x²+4x-7=0
由根与系数的关系得：x₁+x₂=-2，x₁x₂=-$\frac{7}{2}$，y₁-y₂=-（x₁-x₂）
∴△F₁AB的面积S=c|y₁-y₂|=2||x₁-x₂|=2$\sqrt{4+4×\frac{7}{2}}$=6$\sqrt{2}$．

点评 本题考查求双曲线的方程并探索焦点弦截得的三角形面积问题，着重考查了双曲线的标准方程、简单几何性质和直线与双曲线位置关系等知识点，属于中档题．