卷临天下2023《全国100所名校单元测试示范卷》·高三数学理科·全国人教Y卷

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18．已知函数f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数，且f（x）的图象关于直线x=1对称，当x∈[-1，0]时，f（x）=-x，则f（2015）+f（2016）=（　　）

试题答案

分析 由函数的对称性可得f（x）=f（2-x），再由奇偶性可得f（x）=-f（x-2），由此可推得函数的周期，根据周期性可把f（2016），f（2015）转化为已知区间上求解

解答 解：因为f（x）图象关于x=1对称，所以f（x）=f（2-x），
又f（x）为奇函数，所以f（2-x）=-f（x-2），即f（x）=-f（x-2），
则f（x+4）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），
故4为函数f（x）的一个周期，
从而f（2015）+f（2016）=f（-1）+f（0），
而f（0）=0，f（-1），
故f（-1）+f（0）=1，
即f（2015）+f（2016）=1，
故选：C

点评 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的性质，是解答的关键．