卷临天下2023全国100所名校单元测试示范卷数学八

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20．若函数f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$），且f（α）=-2f，（β）=0，|α-β|的最小值为$\frac{3π}{4}$，求：
（1）正数ω的值；
（2）函数f（x）的最大值及取得最大值时x的集合；
（3）函数f（x）的递减区间．试题答案

分析 （1）由题意根据正弦函数的零点、正弦函数的周期性，求得ω的值．
（2）根据f（x）=2sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$），利用正弦函数的最大值求得函数f（x）的最大值及取得最大值时x的集合．
（3）由条件利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的减区间．

解答 解：（1）函数f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$），且f（α）=-2，f（β）=0，|α-β|的最小值为$\frac{3π}{4}$，可得函数的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=4|α-β|_min=3π，求得ω=$\frac{2}{3}$．
（2）由以上可得f（x）=2sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$），故当 $\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，即x∈{x|x=$\frac{π}{4}$+3kπ，k∈Z}时，
函数f（x）取得最大值为2，取最大值时x的集合为{x|x=$\frac{π}{4}$+3kπ，k∈Z}．
（3）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得 3kπ+$\frac{π}{4}$≤x≤3kπ+$\frac{7π}{4}$，
故函数f（x）的减区间为[3kπ+$\frac{π}{4}$，3kπ+$\frac{7π}{4}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查正弦函数的零点、正弦函数的周期性，正弦函数的最大值，正弦函数的单调性，属于基础题．