2023卷临天下100所名校单元测试示范卷数学高三16

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15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且$\frac{2b-\sqrt{3}c}{\sqrt{3}a}$=$\frac{cosC}{cosA}$．
（1）求A的值；
（2）若B=$\frac{π}{6}$，BC边上的中线AM=2$\sqrt{21}$，求△ABC的面积．试题答案

分析 （1）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，三角形内角和定理，即可得出结论．
（2）利用余弦定理，三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）因为（2b-$\sqrt{3}$c）cosA=$\sqrt{3}$acosC，由正弦定理得：
（2sinB-$\sqrt{3}$sinC）cosA=$\sqrt{3}$sinAcosC，
即2sinBcosA=$\sqrt{3}$（sinAcosC+cosAsinC）=$\sqrt{3}$sin（A+C），
因为B=π-A-C，所以sinB=sin（A+C），所以2sinBcosA=$\sqrt{3}$sinB，
因为0＜B＜π，所以sinB＞0，所以cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
因为0＜A＜π，所以A=$\frac{π}{6}$．
（2）由（1）知A=B=$\frac{π}{6}$，所以AC=BC，C=$\frac{2π}{3}$，设CM=x，则AC=2x，
在△ACM中，由余弦定理可得x=2$\sqrt{3}$，
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}•2x•2x•sin\frac{2π}{3}$=12$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正弦定理，和角的正弦公式，余弦定理，三角形面积公式的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．