2023全国100所名校单元测试示范卷高三数学卷十

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16．已知A、B、C是△ABC的三个内角，求证：
（1）cos（2A+B+C）=-cosA；
（2）sin$\frac{B+C}{2}$=cos$\frac{A}{2}$；
（3）tan$\frac{A+B}{4}$=-tan$\frac{3π+C}{4}$．试题答案

分析 （1）由已知条件利用cos（π+α）=-cosα进行证明．
（2）由已知条件利用$sin（\frac{π}{2}-α）=cosα$进行证明．
（3）由已知条件利用tan（π-α）=-tanα进行证明．

解答 证明：（1）∵A、B、C是△ABC的三个内角，
∴A+B+C=π，
∴cos（2A+B+C）=cos（π+A）=-cosA，
∴cos（2A+B+C）=-cosA．
（2）∵A、B、C是△ABC的三个内角，
∴A+B+C=π，
∴sin$\frac{B+C}{2}$=$sin（\frac{π-A}{2}）$=sin（$\frac{π}{2}-\frac{A}{2}$）=cos$\frac{A}{2}$，
∴sin$\frac{B+C}{2}$=cos$\frac{A}{2}$．
（3）∵）∵A、B、C是△ABC的三个内角，
∴A+B+C=π，
∴tan$\frac{A+B}{4}$=tan$\frac{π-C}{4}$=-tan（$π-\frac{π-C}{4}$）=-tan$\frac{3π+C}{4}$．
∴tan$\frac{A+B}{4}$=-tan$\frac{3π+C}{4}$．

点评 本题考查三角函数的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意三角形内角和定理和诱导公式的合理运用．