2023全国一百所名校单元测试示范卷高三数学卷七

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15．已知直线l：y=kx+1，椭圆C：x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（1）求证：直线1与椭圆C有两个交点；
（2）若k=2，求直线l被椭圆C截得的弦长．试题答案

分析 （1）直接联立直线方程与椭圆方程，由判别式大于0证得结论；
（2）把k=2代入（1）中的方程，利用根与系数的关系得到直线l被椭圆C截得的弦的两个端点的横坐标的和与积，代入弦长公式得答案．

解答 （1）证明：联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得（4+k²）x²+2kx-3=0 ①．
∵△=（2k）²-4×（4+k²）×（-3）=16k²+48＞0，
∴直线1与椭圆C有两个交点；
（2）解：当k=2时，①可化为8x²+4x-3=0，
设直线l被椭圆C截得的线段的两端点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{1}{2}$，${x}_{1}{x}_{2}=-\frac{3}{8}$．
∴直线l被椭圆C截得的弦长为|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\sqrt{1+{2}^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{5}\sqrt{（-\frac{1}{2}）^{2}+4×\frac{3}{8}}=\frac{\sqrt{35}}{2}$．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查了弦长公式的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．