23年全国100所名校单元测试示范卷23数学

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14．已知数列{b_n}的前n项和为S_n，b₁=1，且点（n．S_n+n+2）在函数y=2^x+1的图象上，若数列{a_n}满足a₁=1，a_n=b_n（$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n-1}}$）（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）（i）求证：$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n+1}}$（n≥2，n∈N^*）；
（ii）求证：（1+$\frac{1}{{a}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{a}_{2}}$）（1+$\frac{1}{{a}_{3}}$）…（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$）＜$\frac{10}{3}$．试题答案

分析 （Ⅰ）由题意可得S_n=2ⁿ⁺¹-n-2，b₁=1，再由前n项和与通项的关系求得b_n=2ⁿ-1；
（Ⅱ）（i）根据a_n=b_n（$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n-1}}$）可得$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$，从而有$\frac{{a}_{n+1}}{{b}_{n+1}}$，所以$\frac{{a}_{n+1}}{{b}_{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{{b}_{n}}$，变形可得结论；
（ii）注意讨论，当n=1时成立，当n≥2时，由（Ⅱ）（i）知（1+$\frac{1}{{a}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{a}_{2}}$）（1+$\frac{1}{{a}_{3}}$）…（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$）
=$\frac{1+{a}_{1}}{{a}_{1}{a}_{2}}$•$\frac{1+{a}_{2}}{{a}_{3}}$•$\frac{1+{a}_{3}}{{a}_{4}}$•…•$\frac{1+{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$•a_n+1=$\frac{2}{3}$•$\frac{{b}_{2}}{{b}_{3}}$•$\frac{{b}_{3}}{{b}_{4}}$•$\frac{{b}_{4}}{{b}_{5}}$•…•$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n+1}}$•a_n+1=$\frac{2}{3}$•$\frac{{b}_{2}}{{b}_{n+1}}$•a_n+1=2•$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n+1}}$═2（$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n-1}}$+$\frac{1}{{b}_{n}}$）=2（1+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$），再放缩求解即可得证．

解答 解：（Ⅰ）点（n．S_n+n+2）在函数y=2^x+1的图象上，
∴S_n+n+2=2ⁿ⁺¹，则S_n=2ⁿ⁺¹-n-2，b₁=1，
n≥2时，S_n-1=2ⁿ-n-1，∴S_n-S_n-1=2ⁿ-1，
即b_n=2ⁿ-1（n≥2），b₁=1满足该式，故b_n=2ⁿ-1．
（Ⅱ）（i）证明：∵a_n=b_n（$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n-1}}$）（n≥2，n∈N^*），
∴$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n-1}}$，$\frac{{a}_{n+1}}{{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n-1}}$+$\frac{1}{{b}_{n}}$，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{b}_{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{{b}_{n}}$，从而$\frac{{a}_{n+1}}{{b}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$+$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}+1}{{b}_{n}}$，
∴$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n+1}}$；
（ii）证明：b₁=1，b₂=3，a₁=1，a₂=3，
当n=1时，左边=1+$\frac{1}{{a}_{1}}$=2＜$\frac{10}{3}$=右边．
当n≥2时，由（Ⅱ）（i）知（1+$\frac{1}{{a}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{a}_{2}}$）（1+$\frac{1}{{a}_{3}}$）…（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$）
=$\frac{1+{a}_{1}}{{a}_{1}}$•$\frac{1+{a}_{2}}{{a}_{2}}$•$\frac{1+{a}_{3}}{{a}_{3}}$•…•$\frac{1+{a}_{n}}{{a}_{n}}$
=$\frac{1+{a}_{1}}{{a}_{1}{a}_{2}}$•$\frac{1+{a}_{2}}{{a}_{3}}$•$\frac{1+{a}_{3}}{{a}_{4}}$•…•$\frac{1+{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$•a_n+1
=$\frac{2}{3}$•$\frac{{b}_{2}}{{b}_{3}}$•$\frac{{b}_{3}}{{b}_{4}}$•$\frac{{b}_{4}}{{b}_{5}}$•…•$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n+1}}$•a_n+1
=$\frac{2}{3}$•$\frac{{b}_{2}}{{b}_{n+1}}$•a_n+1=2•$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n+1}}$═2（$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n-1}}$+$\frac{1}{{b}_{n}}$），
而$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n-1}}$+$\frac{1}{{b}_{n}}$=1+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$，
当k≥2时，$\frac{1}{{2}^{k}-1}$=$\frac{{2}^{k+1}-1}{（{2}^{k}-1）（{2}^{k+1}-1）}$＜$\frac{{2}^{k+1}}{（{2}^{k}-1）（{2}^{k+1}-1）}$=2（$\frac{1}{{2}^{k}-1}$-$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$），
∴1+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$＜1+2（$\frac{1}{{2}^{2}-1}$-$\frac{1}{{2}^{3}-1}$+$\frac{1}{{2}^{3}-1}$-$\frac{1}{{2}^{4}-1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$）
=1+2（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$）＜1+$\frac{2}{3}$=$\frac{5}{3}$，
∴（1+$\frac{1}{{a}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{a}_{2}}$）（1+$\frac{1}{{a}_{3}}$）…（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$）＜$\frac{10}{3}$．

点评 本题主要考查数列与函数，不等式的综合运用，同时考查数列前n项和与通项的关系以及放缩法，裂项法等．属于难题．