2023届全国100所名校单元测试示范卷高三理科 数学

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20．作短轴长为2b的椭圆的内接矩形，若该矩形面积的最大值的取值范围是[3b²，4b²]，则椭圆离心率的取值范围是（　　）

试题答案

分析 如图所示，不妨设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），设矩形的一条对角线所在方程为y=kx（k＞0），代入椭圆方程可得：x²，y²，可得矩形的面积S=2|x|×2|y|，再利用基本不等式的性质、椭圆离心率的计算公式即可得出．

解答 解：如图所示，不妨设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
设矩形的一条对角线所在方程为y=kx（k＞0），
代入椭圆方程可得：x²=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，y²=$\frac{{k}^{2}{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，
∴矩形的面积S=2|x|×2|y|=4$\frac{k{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$=$\frac{4{a}^{2}{b}^{2}}{\frac{{b}^{2}}{k}+{a}^{2}k}$≤$\frac{4{a}^{2}{b}^{2}}{2\sqrt{\frac{{b}^{2}}{k}•{a}^{2}k}}$=2ab，当且仅当k=$\frac{b}{a}$时取等号．
∴3b²≤2ab≤4b²，
化为$\frac{1}{2}≤\frac{b}{a}≤\frac{2}{3}$，
∴$e=\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$∈$[\frac{\sqrt{5}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{2}]$．
故选：B．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、基本不等式的性质、矩形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

1.C(A项,扩大范围,不是“文学史”,而是“诗歌史”。B项,分析不当,”他写虚时离开现实,直接写幻境来寄闻理想,如'白发三千丈,缘 似个长””错误,原文是“在反映客观现实的时候,李白常常带着强烈的主观色彩以感情的逻辑去取代生活的逻辑,如写愁的“白发三千丈,缘感似个长”……李白的有些诗甚至离开现实,接写幻境来寄寓理想。他有近八分之一的诗,写求仙学道,诗中所写的幻境,既非生活所实有,也无托喻现实的意义,而是他渴望成仙的理想的外化,他把自己的理想幻化为一个个并不存在的幻境”。D项.不合文意,他没有看到长安的繁荣景象,他看到的是大唐意败到来前的危机四伏”错误,原文是“他看到过开元盛世的繁荣景象,但他更多地认识到大唐衰败到来前的危机四伏”