2023届全国100所名校单元测试示范卷数学答案高三

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10.△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,$\overrightarrow{m}$=$({a,\sqrt{3}b})$,$\overrightarrow{n}$=(sinB,cosA),$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$,b=2,$a=\sqrt{7}$,则△ABC的面积为(  )

A. $\sqrt{3}$ B. $\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$ C. $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ D. $2\sqrt{3}$

试题答案

分析 由$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$,得sinB=-$\frac{2\sqrt{3}cosA}{\sqrt{7}}$,由正弦定理得得sinA=-$\sqrt{3}cosA$,再由同角三角函数关系式得到cosA=-$\frac{1}{2}$,sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,从而sinB=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$,cosB=$\frac{2}{\sqrt{7}}$,从而求出sinC,由此利用△ABC的面积S=$\frac{1}{2}absinC$,能求出结果.

解答 解:∵△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,
$\overrightarrow{m}$=$({a,\sqrt{3}b})$,$\overrightarrow{n}$=(sinB,cosA),$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$,b=2,$a=\sqrt{7}$,
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=$asinB+\sqrt{3}bcosA$=$\sqrt{7}sinB+2\sqrt{3}cosA$=0,
∴sinB=-$\frac{2\sqrt{3}cosA}{\sqrt{7}}$,
由正弦定理得$\frac{\sqrt{7}}{sinA}=\frac{2}{-\frac{2\sqrt{3}cosA}{\sqrt{7}}}$,整理,得sinA=-$\sqrt{3}cosA$,
∴sin2A+cos2A=4cos2A=1,
∵0<A<π,∴cosA=-$\frac{1}{2}$,sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,A=$\frac{2π}{3}$,
∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$,cosB=$\sqrt{1-(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}})^{2}}$=$\frac{2}{\sqrt{7}}$,
∴sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{2}{\sqrt{7}}-\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$,
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×\sqrt{7}×2×\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
故选:C.

点评 本题考查三角形面积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量垂直、正弦定理、同角三角函数关系式等知识点的合理运用.

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4.(“获奖者必须是理想主义作家”错,原文是“获奖者必须是一个能写出优秀作品的人”“最初的时候可能更多的是关于寻找理想主义作家”,不是说获奖者必须是理想主义作家。)

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