2023届全国100所名校单元测试示范卷 ·数学卷6 第六单元 圆与方程

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2023届全国100所名校单元测试示范卷 ·数学卷6 第六单元 圆与方程

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6.已知x>0,y>0,z>0,x+y+z=3,求$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$的最小值.试题答案

分析 根据基本不等式:x+y+z≥3$\root{3}{xyz}$-----①;$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$≥3$\root{3}{\frac{1}{xyz}}$-----②;再两式同向相乘即可.

解答 解:因为x>0,y>0,z>0,根据基本不等式:
x+y+z≥3$\root{3}{xyz}$-----------①
$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$≥3$\root{3}{\frac{1}{xyz}}$---------②
①②两式同向相乘得,
(x+y+z)•($\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$)≥(3$\root{3}{xyz}$)•(3$\root{3}{\frac{1}{xyz}}$)=9,
所以,$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$≥$\frac{9}{x+y+z}$=3,
当且仅当:x=y=z=1时,原式取得最小值,
即$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$的最小值为3.

点评 本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用,以及不等式同向相乘的性质,属于基础题.

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